Post by SzopaPytanie do grupy jest takie: kto uważa, że tłumaczenie odnoszące się do
siły odśrodkowej jest dobre i dlaczego (z naciskiem na dlaczego) ? :)
Jak są tacy, co uważają, że mieszanie siły odśrodkowej jest
nieuzasadnione, to też gorąca prośba o wpisywanie :)
Wszytko zalezy od punktu widzenia. a ten zalezy od punktu siedzenia.
fizyczno/matematycznie - od ukladu wspolrzednych, w ktorym to
opisujemy.
Dla uproszczenia wizji wezmy orbite kolowa!
Oraz masa satelity zaniedbywalna przy masie planety.
Jesli opisujemy nasze ciala w ukladzie inercjalnym (powiazany
z 'gwiazdami stalymi') to nie wystepuje tam nic takiego jak sila
odsrodkowa.
Satelita sobie leci, a nasza grawitacja go tylko zakreca.
Chociaz to nie zaspokaja naszej ciekawosci, dlaczego
nie spada, dlaczego, za ktoryms razem, nie 'walnie' w powierzchnie;)
Z drugiej strony mamy uklad obracajacy sie wraz z naszym satelita.
W tym ukladzie wystepuje sila odsrodkowa.
Dla naszej satelity rownowazy ona dokladnie sile grawitacji.
[I jest to najprostrzy sposob na wyliczenie 1. predkosci kosmicznej]
A dlaczego 'Tak Naprawde' satelita nie spada?
Opisujemy naszego satelite odlegloscia od srodka masy planety
i jakims kątem, r, fi.
Popatrzmy na energię satelity.
E = mv^2/2 - GMm/r
Przedkosc mozemy rozlozyc na dwie skladowe, predkosc
radialną V_r = r' i predkoss trawersalna V_fi ( = r fi' )
Oczywiscie v^2 = V_r^2 + V_fi^2
Enrgia w ruchu planety jest zahcowana. Co jeszcze jest zachowane?
Moment pedu (wzgledem srodka masy planety) L. Nie zmienia sie,
bo nasza sila zawsze dziala wzdloz ramienia, r (x) F =0.
L = r*m*v_fi. [zgadza sia?]
V_fi= L/rm
podsumowujac co wiemy:
E = m v_r^2/2 + L^2 /(2 m r^2) - GMm/r
Jedyną zmienną jest tutaj.. odleglosc od planety (i czas).
Mozemy bawic sie w rozwiazywanie (nietrudne).
mozemy tez odpowiednio zinterpretowac rownanie:
E = m/2 v_r^2 + ( L^2 /(2 m r^2) - GMm/r)
Mamy ruch _jednowymiarowy_, polozenie to r, predkosc
to v_r, powyzsze rownanie przedstawia bilans energii,
gdzie E to laczna energia, m/2 v_r^2 to oczywiscie energia
kinetyczna, a wyrazenie ( L^2 /(2 m r^2) - GMm/r)
to potencjal, w jakim porusza sie nasza czastka!
A jak wyglada nasz potencjal? Dla r->oo to 0,
(1/r maleje wolniej, wiec do zera podchodzimy od dołu).
Dla r->0 potencjal rosnie do +nieskonczonosci.
Mozemy tez pokazac, ze istnieje jedno minimum.
Ostatecznie, wykres wyglada troszke tak(potrzebna stala szerokosc
czcionki):
|
|
\ _______
\ _ ___-
-_-
A wiec, jesli tylko L =\= 0, to niezaleznie od energii E nie zblizymy
sie dowolnie blisko srodka masy. Dosc czesto nazywa sie to
barierą centryfugalną.
Jesli E<0, mamy stan zwiazany, pozycja czastki jest ograniczona
z obu stron, r nie moze byc zbyt duze ani zbyt male:)
Nasz wynik jest ladny, bo jakosciowy. Nie rozwiazalismy rownan
ruchu, nie mamy konkretnych orbit, a jedynie udalo nam sie
zapisac soc w rodzaju bilnasu energetycznego dla
_samego ruchu radialnego_ i pokazac, ze jest on ograniczony
z zasady zachowania energii.
Tymsamym nie musimy sie martwin cp o stablinnosc naszych
orbit i inne meczace rzeczy;)
I dlatego "tak naprawde"*) satelita nie moze spasc na planete.
pozdrawiam
bartekltg
*) ok, przesunelismy problem na pytanie: dlaczego postac
grawitacji jat taka a nie inna;)
PS. ciekawie wyglada taki 'pseudopotencjal' dla ruchu
satelity w metryce schwarzchilda. Obliczenia i rysunki
sa np u Schutza.
PPS. Dosc zgodni jestesmy, ze gdybysmy zyli w przestrzeni
N wymiarowej, prawo grawitacji wygladalo by jak
F ~ r^-(N-1).
Potencjal wtedy jest jak V ~ r^-(n-2) dla n>2 i v~ln(r) dla n=2
Widac, ze nasz dowod przestaje dzialac dla przestrzeni innych
niz R^3 i R^2. We wszechswiacei czterowymiarowym satelity nie
sa tak stabilne! ;)